在这一节中，我们将先向大家介绍长短时记忆网络（LSTM），然后详细讲解怎样使用长短时记忆网络（LSTM）来预测股票价格，为了避免人为因素干拢，我们还以上证综指为例来进行说明。
长短时记忆网络（LSTM）
股票交易数据是一种典型的时序信号，需要处理较长的时间序列，有时为了准确的进行股票价格预测，可能会需要看几周甚至几个月的历史数据，如果采用普通的多层感知器模型的话，那么要求输入层维度就非常大，整个网络的参数就要求非常多，就非常难以训练，并且容易出现过拟合（Over Fitting）。采用长短时记忆网络（LSTM），每次仅需要输入一个时间点的数据，输入层维度低，同时网络参数少，虽然比较难以训练，但是一旦网络训练成功，就不容易出现过拟合（OverFitting）。
要理解长短时记忆网络，我们先来看普通的神经网络，如下所示：

如上图所示，输入信号从输入层经过中间的隐藏层，到达输出层，中间没有回路。
而递归神经网络（RNN）则与此不同，隐藏层除了向输出层输出外，还将自己的输出重新作为输入传输给自己，如下图所示：

如上图所示，隐藏层的输出信号，会重新作为输入信号输入给自己。为了能更好的表示这种网络，我们通常采用展开的形式，如下所示：

在$t=1$时刻，隐藏层的状态为$h_0$，加上$t=1$时刻的输入$x_1$，一起作为隐藏层在$t=1$时刻的输入，计算出隐藏层的输出值$h_1$，其一方面输出给上一层网络（如输出层），另一方面也会作为在$t=2$时刻的输入，与在$t=2$时刻输入信号$x_2$一起，作为隐藏层输入，这时又会产生在$t=2$时刻隐藏层的输出，依此类推下去，这就是普通的递归神经网络。
我们假设输入层到隐藏层的连接权值为$W^i$，而隐藏层到隐藏层的连接权值为$W^h$，在$t$时刻，递归神经网络可以表示为：
$$\begin{gathered} h_t=f_h(W^h\cdot h_{t-1}+W^i\cdot x_t) \\ {y}_t=f_o(W^o\cdot h_t) \end{gathered}$$
在普通递归神经网络的基础上，可以形成深层递归网络和双向递归网络，原现与普通递归神经网络类似，这里就不再具体介绍了。
但是普通递归神经网络在具体使用过程中，由于只能具有短时记忆，并用会出现梯度爆炸等问题，所以在实际应用中，人们一般很少直接使用递归神经网络（RNN），而一般都使用长短时记忆网络（LSTM）或GRU，我们在量化投资中，采用长短时记忆网络。
长短时记忆网络（LSTM）
长短时记忆网络（LSTM）网络结构图如下所示：

网络由变化很慢的c和变化很快的h组成，在$t=1$时刻，隐藏层状态为$c_0$和$h_0$，与$t=1$时刻输入信号$x_1$一起，输入到隐藏层，隐藏层产生输出$c_1$和$h_1$。在$t=2$时刻，隐藏层状态为$c_1$和$h_1$，与$t=2$时刻输入信号一起，输入到隐藏层，产生输出为$c_2$和$h_2$，如此循环往复下去。
长短时记忆网络的逻辑图如下所示：

这是在原始Paper中画出的逻辑结构，为了更好的理解长短时记忆网络，我们通常采用一种不同的方式来表示：

长短时记忆网络（LSTM）中间层如上图所示，下面我们分步来看长短时记忆网络（LSTM）的原理：
1.由遗忘门决定丢弃信息

假设在$t$时刻隐藏层状态为${\mathbf{h}}_{t-1}$，输入信号为${\mathbf{x}}_t$，遗忘门的连接权值为$W_f$，$[{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t]$表示将向量${\mathbf{h}}_{t-1}$和${\mathbf{x}}_t$连接在一起，形成一个新的向量，遗忘门的输出为一个0~1之间的数字，代表需要忘记多少以前的记忆，如下所示：
$${\mathbf{f}}_t=\sigma (W^f\cdot [{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t]+{\mathbf{b}}_f)$$
2.输入门决定输入信号

$$\begin{gathered} {\mathbf{i}}_t=\sigma (W_i\cdot [{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t]+{\mathbf{b}}_i) \\ {\tilde{\mathbf{c}}}_t=\tanh (W_c\cdot [{\mathbf{h}}_t,{\mathbf{x}}_t]+{\mathbf{b}}_c) \end{gathered}$$
3.更新长期记忆细胞状态

$${\mathbf{c}}_t={\mathbf{f}}_t\otimes {\mathbf{c}}_{t-1}+{\mathbf{i}}_t\otimes {\tilde{\mathbf{c}}}_t$$
4.通过输出门产生输出信号

$$\begin{gathered} {\mathbf{o}}_t=\sigma (W_o\cdot [{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t]+{\mathbf{b}}_o) \\ {\mathbf{h}}_t={\mathbf{o}}_t\cdot \tanh ({\mathbf{c}}_t) \end{gathered}$$
通过上述步聚，就产生了$t$时刻的状态，会传到下一个时刻，一直运行下去。
股票LSTM
上面我们详细讲解了长短时记忆网络的结构和算法，下面我们将用长短时记忆网络（LSTM）来处理股票数据。我们要实现的任务就是根据前一天某支股票的开盘价、最高价、最低价、收盘价预测第二天的价格，用预测价格与第二天实际价格的最小平方和作为代价函数。